【題目】設(shè)是公差為的等差數(shù)列,是公比為()的等比數(shù)列,記.
(1)令,求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若,,數(shù)列前2項和為14,前8項和為857,求數(shù)列通項公式;
(3)在(2)的條件下,問:數(shù)列中是否存在四項、、、成等差數(shù)列?請證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見詳解;(2);(3)不存在,理由見詳解.
【解析】
(1)根據(jù)題意,先得到,再計算,根據(jù)等比數(shù)列的定義,即可證明結(jié)論成立;
(2)根據(jù)題意,由等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式,列出方程組求解,求出,即可得出通項公式;
(3)先假設(shè)數(shù)列中存在四項、、、成等差數(shù)列,不妨令,
根據(jù)反證法,由題意推出矛盾,即可得出結(jié)論.
(1)因為是公差為的等差數(shù)列,是公比為()的等比數(shù)列,,
,
所以,
因此數(shù)列為公比為的等比數(shù)列;
(2)因為,,數(shù)列前2項和為14,前8項和為857,
所以,即,解得:,
所以,,
因此;
(3)假設(shè)數(shù)列中存在四項、、、成等差數(shù)列,不妨令,
則,
因為,所以①
若,則,
結(jié)合①得,
化簡得:②,
因為,,易得,這與②矛盾;所以只能;
同理:,
因此、、為數(shù)列的連續(xù)三項,從而,
即,故,即,
解得:,與矛盾;
所以假設(shè)不成立,從而數(shù)列中不存在四項、、、成等差數(shù)列.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面,已知,點分別為的中點.
(1)求證:;
(2)若F在線段上,滿足平面,求的值;
(3)若三角形是正三角形,邊長為2,求二面角的正切值.
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【題目】隨著資本市場的強勢進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到下表(單位:人):
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計 | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所有抽取的30歲以上的網(wǎng)民中利用分層抽樣抽取5人,
求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
從這5人中,在隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】已知函數(shù)
()當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間和極值.
()若對于任意,都有成立,求的取值范圍 ;
()若且證明:
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【題目】《九章算術(shù)》中有如下問題:今有蒲生一日,長三尺,莞生一日,長1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?意思是:今有蒲第一天長高3尺,莞第一天長高1尺,以后蒲每天長高前一天的一半,莞每天長高前一天的2倍.若蒲、莞長度相等,則所需時間為()
(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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【題目】已知離心率為的橢圓焦點在軸上,且橢圓個頂點構(gòu)成的四邊形面積為,過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點,且(為坐標(biāo)原點).求當(dāng)時,實數(shù)的取值范圍.
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【題目】函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到的圖象,求直線與
函數(shù)的圖象在內(nèi)所有交點的坐標(biāo).
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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