Question

【題目】設等比數列｛｝的公比為 q(q > 0，q = 1)，前 n 項和為 Sn，且 2a1a3 = a4，數列｛｝的前 n 項和 Tn 滿足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.

(1) 求數列 ｛｝，｛｝的通項公式；

(2) 是否存在常數 t，使得 {Sn+ } 為等比數列？說明理由；

(3) 設 cn =，對于任意給定的正整數 k(k ≥2), 是否存在正整數 l，m(k < l < m), 使得 ck，c1，cm 成等差數列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）存在，使得是公比為的等比數列；（3）存在符合題意.

【解析】

（1）利用基本量運算可得，利用n≥2時，2bn＝2（Tn﹣Tn﹣1），整理可得；

（2）由Sn，分別討論t時和t時，由等比數列的定義證明即可；

（3）假設對于任意給定的正整數k（k≥2），存在正整數l，m（k＜l＜m），使得ck，c1，cm成等差數列．則，整理得：2m+1，取l＝2k，即可得解.

（1）等比數列{an}的公比為q（q＞0，q＝1），∵2a1a3＝a4，

∴，可得a1．

∴anqn﹣1．

數列{bn}的前n項和Tn滿足2Tn＝n（bn﹣1），n∈N*，b2＝1．

∴n≥2時，2bn＝2（Tn﹣Tn﹣1）＝n（bn﹣1）﹣（n﹣1）（bn﹣1﹣1），

化為：（n﹣2）bn＝（n﹣1）bn﹣1+1，

當n≥3時，兩邊同除以（n﹣2）（n﹣1），可得：，

利用累加求和可得：b2+1，化為：bn＝2n﹣3（n≥3），

當n＝1時，2b1＝b1﹣1，解得b1＝﹣1，

經過驗證n＝1，2時也滿足．

∴bn＝2n﹣3．

（2）由（1）可知：an，q＞0，q≠1．

∴Sn．

①若t時，則Sn，∴q．

即數列{Sn}是公比為q的等比數列．

②若t時，則Sn．

設A，B．（其中A，B≠0）．

則q不為常數．

綜上：存在t時，使得數列{Sn}是公比為q的等比數列．

（3）由（1）可知：bn＝2n﹣3．

，

假設對于任意給定的正整數k（k≥2），存在正整數l，m（k＜l＜m），使得ck，c1，cm成等差數列．

則，整理得：2m+1，

取l＝2k，則2m+1＝（4k+1）（2k+1），解得m＝4k2+3k．

即存在l＝2k，m＝4k2+3k．符合題意．