Question

5．△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=$-\frac{77}{2}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)余弦定理即可求出cosA的值，從而可求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值，而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{BC}$=$-{\overrightarrow{BC}}^{2}$，這樣便可求出原式的值．

解答 解：如圖，

在△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，根據(jù)余弦定理得：
cosA=$\frac{C{A}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2CA•AB}=\frac{36+16-25}{2×6×4}=\frac{9}{16}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}）•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$
=$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
=$-{\overrightarrow{BC}}^{2}-|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|cosA$
=$-25-6×4×\frac{9}{16}$
=$-\frac{77}{2}$．
故答案為：$-\frac{77}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查余弦定理，向量減法的幾何意義，相反向量的概念，以及數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．