Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-e^x（a∈R）．
（1）若f′（x）為函數(shù)f（x的導函數(shù)，求函數(shù)F（x）=

f′(x)

x

的極值；
（2）若a=1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導后代入并化簡，再次求導從而求出極值；（2）方法一，利用第一問中的結(jié)論討論f′（x）的正負，從而確定單調(diào)性，方法二，對函數(shù)二階求導，確定f′（x）的正負，從而確定單調(diào)性．

解答： 解：（1）f′(x)=2ax-ex，F(xiàn)(x)=2a-

ex

x

，F(xiàn)′(x)=-

ex(x-1)

x2

解F′（x）＞0得x＜0或0＜x＜1，
解F′（x）＜0得x＞1，
∴F′（x）=0時x=1；
F_極大（x）=F（1）=a-e，
F（x）沒有極小值．
（2）方法一：a=1時，F(x)=

f′(x)

x

=2-

ex

x

，
當x＜0時-

ex

x

＞0，所以F(x)=

f′(x)

x

=2-

ex

x

＞0，
所以f′（x）＜0，f（x）在（-∞，0）遞減；
當x＞0時，由（1）知F（x）≤F（1）=2-e＜0，
即F(x)=

f′(x)

x

＜0，
所以f′（x）＜0，
f（x）在（0，+∞）遞減；
又函數(shù)f（x）在x=0連續(xù)，
所以函數(shù)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）遞減．
方法二：a=1時，
f′（x）=2x-e^x，
f″（x）=2-e^x，
f″（x）＞0時，x＜ln2；
f″（x）＜0時，x＞ln2；
∴f′（x）在區(qū)間（-∞，ln2）遞增，在區(qū)間（ln2，+∞）遞減；
∴f′（x）_max=f′（ln2）=2（ln2-1）＜0，
即f′（x）＜0在R上恒成立，
所以f（x）在（-∞，+∞）遞減．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．