Question

1．設不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集為M，a，b∈M．
（Ⅰ）證明：|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|＜$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）比較|1-4ab|與2|a-b|的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值不等式的解法求出集合M，利用絕對值三角不等式直接證明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結果，說明ab的范圍，比較|1-4ab|與2|a-b|兩個數的平方差的大小，即可得到結果．

解答 解：（Ⅰ）記f（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤-1}\\{-2x-1，-1＜x＜1}\\{-3，x≥1}\end{array}\right.$，
由-2＜-2x-1＜0解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，則M=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．…（3分）
∵a、b∈M，∴|a|＜$\frac{1}{2}$，|b|＜$\frac{1}{2}$，
∴|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|≤$\frac{1}{3}$|a|+$\frac{1}{6}$|b|＜$\frac{1}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜$\frac{1}{4}$，b²＜$\frac{1}{4}$．
因為|1-4ab|²-4|a-b|²=（1-8ab+16a²b²）-4（a²-2ab+b²）
=（4a²-1）（4b²-1）＞0，…（9分）
所以|1-4ab|²＞4|a-b|²，故|1-4ab|＞2|a-b|．…（10分）

點評 本題考查不等式的證明，絕對值不等式的解法，考查計算能力．