【題目】已知空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均是邊長為2的等邊三角形,△ABC是腰長為3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.
(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線,使得直線上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行,并給出證明;
(2)求三棱錐E-ABC的體積.
【答案】(1)取DC的中點(diǎn)N,取BD的中點(diǎn)M,連接MN,則MN即為所求,證明見解析(2)
【解析】
(1)取DC的中點(diǎn)N,取BD的中點(diǎn)M,連接MN,則MN即為所求,證明EN∥AH,MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可(2)因?yàn)辄c(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等,求三棱錐E-ABC的體積可轉(zhuǎn)化為求三棱錐N-ABC的體積,根據(jù)體積公式計算即可.
(1)如圖所示,取DC的中點(diǎn)N,取BD的中點(diǎn)M,連接MN,則MN即為所求.
證明:連接EM,EN,取BC的中點(diǎn)H,連接AH,
∵△ABC是腰長為3的等腰三角形,H為BC的中點(diǎn),
∴AH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AH平面ABC,
∴AH⊥平面BCD,同理可證EN⊥平面BCD,
∴EN∥AH,
∵EN平面ABC,AH平面ABC,
∴EN∥平面ABC.
又M,N分別為BD,DC的中點(diǎn),
∴MN∥BC,
∵MN平面ABC,BC平面ABC,
∴MN∥平面ABC.
又MN∩EN=N,MN平面EMN,EN平面EMN,
∴平面EMN∥平面ABC,
又EF平面EMN,
∴EF∥平面ABC,
即直線MN上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行.
(2)連接DH,取CH的中點(diǎn)G,連接NG,則NG∥DH,
由(1)可知EN∥平面ABC,
∴點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等,
又△BCD是邊長為2的等邊三角形,
∴DH⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH平面BCD,
∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,
易知DH=,∴NG=,
又S△ABC=·BC·AH=×2×=2,
∴VE-ABC=·S△ABC·NG=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù),,是否存在實(shí)數(shù)m,使得的最小值為2,若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求M∩P={x|5<x≤8}的充要條件;
(2)求實(shí)數(shù)a的一個值,使它成為M∩P={x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件.
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【題目】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100名顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示:
已知這100位顧客中一次性購物超過8件的顧客占55%.
一次性購物 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
顧客數(shù)(人) | 30 | 25 | 10 | ||
結(jié)算時間(分/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
(1)求,的值;
(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間超過2分鐘的概率(頻率代替概率).
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品,為了提高生產(chǎn)效益,通過引進(jìn)先進(jìn)的生產(chǎn)技術(shù)和管理方式進(jìn)行改革,并對改革后該產(chǎn)品的產(chǎn)量x(萬件)與原材料消耗量y(噸)及100件產(chǎn)品中合格品與不合格品數(shù)量作了記錄,以便和改革前作對照分析,以下是記錄的數(shù)據(jù):
表一:改革后產(chǎn)品的產(chǎn)量和相應(yīng)的原材料消耗量
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
表二:改革前后定期抽查產(chǎn)品的合格數(shù)與不合格數(shù)
合格品的數(shù)量 | 不合格品的數(shù)量 | 合計 | |
改革前 | 90 | 10 | 100 |
改革后 | 85 | 15 | 100 |
合計 | 175 | 25 | 200 |
(1)請根據(jù)表一提供數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程.
(2)已知改革前生產(chǎn)7萬件產(chǎn)品需要6.5噸原材料,根據(jù)回歸方程預(yù)測生產(chǎn)7萬件產(chǎn)品能夠節(jié)省多少原材料?
(3)請根據(jù)表二提供的數(shù)據(jù),判斷是否有90%的把握認(rèn)為“改革前后生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率有差異”?
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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.
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【題目】如圖,已知正三棱柱的高為3,底面邊長為,點(diǎn)分別為棱和的中點(diǎn).
(1)求證:直線平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,過點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。
(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:
(2)若成等比數(shù)列,求a的值。
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【題目】已知不經(jīng)過原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,且點(diǎn)在直線上.
(1)求直線的方程;
(2)過點(diǎn)作直線,若直線,與軸圍成的三角形的面積為2,求直線的方程.
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