分析 (I)根據(jù)曲線的解析式求出導函數(shù),求出極值點,再用距離公式即可;
(II)設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),這個函數(shù)有幾個零點就說明有幾個根.然后利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,并求出函數(shù)的最值,討論最值的取值范圍確定函數(shù)零點的個數(shù)即可求根的個數(shù).
解答 解:(1)由f′(x)=x2+1(2x)=0,得x=0,
故f(x)僅有一個極小值點M(0,0),
根據(jù)題意得:d=3(|5+a|)=1.∴a=-2或a=-8.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x2+1)-x2-1(1)-a,
h′(x)=x2+1(2x)+x2-1(2x)=2xx2-1(1).
當x∈(0,1)∪(1,+∞)時,h′(x)≥0,
當x∈(-∞,-1)∪(-1,0)時,h′(x)<0.
因此,h(x)在(-∞,-1),(-1,0)上時,h(x)單調(diào)遞減,
在(0,1),(1,+∞)上時,h(x)單調(diào)遞增.
又h(x)為偶函數(shù),當x∈(-1,1)時,h(x)的極小值為h(0)=1-a.
當x→-1-時,h(x)→-∞,當x→-1+時,h(x)→+∞,
當x→-∞時,h(x)→+∞,當x→+∞時,h(x)→+∞.
故f(x)=g(x)的根的情況為:
當1-a>0時,即a<1時,原方程有2個根;
當1-a=0時,即a=1時,原方程有3個根.
當1-a<0時,即a>1時,原方程有4個根.
點評 本題考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的從而判定方程的根的個數(shù),轉(zhuǎn)化思想是關鍵,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,4] | B. | (-∞,4) | C. | (4,+∞) | D. | [4,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{16\sqrt{2}}{3}$cm3 | B. | $\frac{32}{3}$cm3 | C. | 16$\sqrt{2}$cm3 | D. | 32cm3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3}{4}\overrightarrow b+\frac{1}{4}\overrightarrow a$ | B. | $\frac{1}{4}\overrightarrow b+\frac{3}{4}\overrightarrow a$ | C. | $\frac{3}{4}\overrightarrow b-\frac{1}{4}\overrightarrow a$ | D. | $\frac{1}{4}\overrightarrow b-\frac{3}{4}\overrightarrow a$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 充分而不必要條件 | B. | 必要而不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$-3 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{6}$ |
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