12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q是面對(duì)角線A1C1上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)A1,C1).給出以下四個(gè)結(jié)論:
①存在P,Q兩點(diǎn),使BP⊥DQ;
②存在P,Q兩點(diǎn),使BP,DQ與直線B1C都成45°的角;
③若PQ=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值;
④若PQ=1,則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積之和為定值.
以上各結(jié)論中,正確結(jié)論的是①③④.

分析 令P與A1點(diǎn)重合,Q與C1點(diǎn)重合,可判斷①正確;
空間中任意直線與BP,DQ夾角相等時(shí),夾角最小值為45°,可判斷②錯(cuò)誤;
根據(jù)平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD,高之和為PQ的棱錐(其中O為上底面中心),可判斷③正確;
根據(jù)四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積不變,可判斷④正確.

解答 解:當(dāng)P與A1點(diǎn)重合,Q與C1點(diǎn)重合時(shí),BP⊥DQ,①正確;
由①正確,可得空間中任意直線與BP,DQ夾角相等時(shí),
夾角最小值為45°,②錯(cuò)誤;
設(shè)平面A1B1C1D1兩條對(duì)角線交點(diǎn)為O,則易得PQ⊥平面OBD,平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD,高之和為PQ的棱錐,故四面體BDPQ的體積一定是定值,③正確;
四面體BDPQ在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形,其面積為定值,
四面體BDPQ在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為上底為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,
故四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值,④正確;
綜上,正確的命題是①③④.
故答案為:①③④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的幾何特征,是空間異面直線關(guān)系,棱錐體積以及投影的綜合應(yīng)用問(wèn)題,是難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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