Question

18．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，其中正確的命題有（填序號）③④
①已知∠A=60°，b=4，c=2，則△ABC有兩解；
②若∠A=90°，b=3，c=4，△ABC內(nèi)有一點P使得$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$兩兩夾角為120°，則${\overrightarrow{PA}}^{2}$+${\overrightarrow{PB}}^{2}$+${\overrightarrow{PC}}^{2}$=30；
③若∠A=90°，b=1，c=$\sqrt{3}$，△ABC內(nèi)有一點P使得$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$夾角為90°，$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PC}$夾角為120°，則tan∠PAC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
④已知∠A=60°，b=4，設(shè)a=t，若△ABC是鈍角三角形，則t的取值范圍是（2$\sqrt{3}$，4）∪（4$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 ①，已知兩邊及夾角，△ABC只有一解；
②，分別在△PAB，△PAC，△PBC中利用余弦定理，把三式相加建立關(guān)系，再通過△PAB，△PAC，△PBC的面積之和與△ABC的面積建立關(guān)系即可得出．
③，設(shè)∠PAC=θ，在△PAB，△PAC，△PBC中，分別把每個三角形用角θ表達出來，然后再利用正弦定理即可得出．
④，如右圖可得：要使△ABC是鈍角三角形，可能∠B是鈍角，還有可能∠C是鈍角，分別找出角的臨界情況即可得出范圍．

解答 解：在①中，∠A=60°，b=4，c=2，已知兩邊及夾角，則△ABC只有一解，故①錯誤；
在②中，分別在△PAB，△PAC，△PBC中利用余弦定理得，3²=PA²+PC²+PA•PC，4²=PA²+PB²+PA•PB，5²=PB²+PC²+PB•PC
⇒2（PA²+PB²+PC²）=50-（PA•PB+PB•PC+PC•PA）
△PAB，△PAC，△PBC的面積之和與△ABC的面積相等可得出：$\frac{1}{2}PA•PBsin12{0}^{0}+\frac{1}{2}PA•PCsin12{0}^{0}$+$\frac{1}{2}PB•PCsin12{0}^{0}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
⇒$PA•PB+PB•PC+PA•PC=8\sqrt{3}$⇒PA²+PB²+PC²=25-4$\sqrt{3}$．故②錯
在③中，如圖設(shè)∠PAC=θ，在Rt△PAB中，∠ABP=θ，PA$\sqrt{3}sinθ$，在△PAC中，由正弦定理得$\frac{AP}{sin∠ACP}=\frac{AC}{sin∠APC}$⇒$\frac{\sqrt{3}sinθ}{sin（6{0}^{0}-θ）}=\frac{1}{sin12{0}^{0}}$⇒tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
故③正確

 在④中，如右圖可得：要使△ABC是鈍角三角形，可能∠B是鈍角，此時AC•sin60°＜BC＜AC，即2$\sqrt{3}$＜t＜4
還有可能∠C是鈍角，此時BC$＞tan6{0}^{0}•AC=4\sqrt{3}$，即t$＞4\sqrt{3}$，故④正確．

故答案為：③④

點評 本題考查了余弦定理三角形面積計算公式、三角形周長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．