Question

17．已知橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左焦點為F，不垂直于x軸且不過F點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．
（1）如果直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0，則動直線l是否一定經(jīng)過一定點？若過一定點，則求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
（2）如果FA⊥FB，原點到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+b聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（2k²+1）x²+4kbx+2（b²-1）=0，由k_FA+k_FB=0，可得 b與k的關系，即可；
（2）由（1）得$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）•（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$=（x₁+1）（x₂+1）+（kx₁+b）（kx₂+b）
由=0及△求出b的范圍．又d=$\sqrt{\frac{^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{（\frac{3^{2}-1}{4b}）^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{16}{9+10（\frac{1}）^{2}+（\frac{1}）^{4}}}$$＜\frac{4}{3}$即可求解，

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+b
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（2k²+1）x²+4kbx+2（b²-1）=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4kb}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}$，△=8（2k²+1-b²）＞0…①，
k_FA+k_FB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}=\frac{（k{x}_{1}+b）（{x}_{2}+1）+（k{x}_{2}+b）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$．
∴（kx₂+b）（x₁+1）+（kx₁+b）（x₂+1）=2kx₁x₂+（k+b）（x₁+x₂）+2b=2k×$\frac{2（^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}$-（k+b）×$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}+2b$=0
∴b=2k，直線AB的方程為：y=kx+2k，
則動直線l一定經(jīng)過一定點（-2，0）．
（2）由（1）得$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）•（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$=（x₁+1）（x₂+1）+（kx₁+b）（kx₂+b）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（kb+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}+1$
=（k²+1）×$\frac{2（^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}-（kb+1）×\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}+^{2}+1=0$．
∴$3^{2}-4kb-1=0，k=\frac{3^{2}-1}{4b}$代入①得①恒成立．
又d=$\sqrt{\frac{^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{（\frac{3^{2}-1}{4b}）^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{16}{9+10（\frac{1}）^{2}+（\frac{1}）^{4}}}$$＜\frac{4}{3}$，
∴d的取值范圍（0，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，定點問題，及取值范圍問題，屬于中檔題．