Question

10．已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）求證：對任意m∈R，直線l與⊙C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）求直線l被⊙C截得的線段的最短長度，及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）判斷直線l是否過定點(diǎn)，可將（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R轉(zhuǎn)化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$即可確定所過的定點(diǎn)A（3，1）；再計(jì)算|AC|，與圓的半徑R=$\sqrt{5}$比較，判斷l(xiāng)與圓的位置關(guān)系；
（2）弦長最小時(shí)，l⊥AC，由k_AC=-$\frac{1}{2}$直線l的斜率，從而由點(diǎn)斜式可求得l的方程．

解答 解：（1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：
（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$得x=3，y=1，
故l恒過定點(diǎn)A（3，1）；
又圓心C（1，2），
∴|AC|=$\sqrt{5}$＜5（半徑）
∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交．
（2）∵弦長的一半、該弦弦心距、圓的半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
∴當(dāng)l⊥AC（此時(shí)該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長最小，
∵k_AC=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的斜率k_l=2，
∴由點(diǎn)斜式可得l的方程為2x-y-5=0．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系及恒過定點(diǎn)的直線，難點(diǎn)在于（2）中“弦長最小時(shí)，l⊥AC”的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．