Question

16．已知a＞b＞0，a^b=b^a，有如下四個(gè)結(jié)論：
①b＜e；②b＞e；③?a，b滿足a•b＜e²；④a•b＞e²．
則正確結(jié)論的序號是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)題意，用特殊值代入計(jì)算，即可判斷命題是否正確．

解答 解：【特殊值法】a＞b＞0，a^b=b^a，
不妨令a=4，b=2，滿足條件；
則a=4＞e，b=2＜e，①正確，②錯(cuò)誤；
又ab=2×4＞e²，④正確，③錯(cuò)誤；
綜上，正確的命題是①④．
【直接法】a＞b＞0，a^b=b^a，
∴blna=alnb，
∴$\frac{lna}{a}$=$\frac{lnb}$；
設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），
則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得1-lnx=0，解得x=e；
∴x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴x=e時(shí)f（x）取得最大值為f（e）=$\frac{1}{e}$；
由函數(shù)的圖象知，a、b中a＞e，1＜b＜e，∴①正確，②錯(cuò)誤；
由$\frac{lna}{a}$=$\frac{lnb}$=k＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lna=at①}\\{lnb=bt②}\end{array}\right.$
①-②得$\frac{lna-lnb}{a-b}$=t
①+②得lna+lnb=t（a+b）=$\frac{ln\frac{a}（a+b）}{a-b}$=$\frac{（\frac{a}+1）ln\frac{a}}{\frac{a}-1}$
lna+lnb-2=$\frac{（\frac{a}+1）ln\frac{a}}{\frac{a}-1}$-2③
令u=$\frac{a}$，則③式變?yōu)?br />lna+lnb-2=$\frac{（u+1）lnu}{u-1}$-2=$\frac{u+1}{u-1}$（lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$）
∵a＞e，1＜b＜e，∴u∈（0，1）
另f（u）=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$
∵f′（u）=$\frac{1}{u}$-$\frac{4}{（u+1）^{2}}$＜0，∴f（u）在（0，1）上單調(diào)遞減，f（u）＜0，
由∵u-1＜0，
∴l(xiāng)na-lnb＞2
∴a•b＞e²，③錯(cuò)誤，④正確．
綜上，正確結(jié)論的序號是①④．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了用特殊值判斷數(shù)值大小的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．