Question

8．已知函數(shù)F（x）=e^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)h（x）的反函數(shù)；
（2）已知φ（x）=g（x-1），若函數(shù)φ（x）在[-1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（-$\frac{a}{2}$），求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若對于任意x∈（0，2]不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：e^x=g（x）+h（x），e^-x=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），聯(lián)立解得：g（x），h（x）．由y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，化為：（e^x）²-2ye^x-1=0，e^x＞0，解得e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$．可得h^-1（x）．
（2）φ（x）=g（x-1），函數(shù)φ（x）在[-1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（-$\frac{a}{2}$），轉化為：函數(shù)g（x）在[-2，2]上滿足：g（2a）＞g（-$\frac{a}{2}$-1），由于函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，可得|2a|＞|-$\frac{a}{2}$-1|，-2≤2a≤2，-2≤-$\frac{a}{2}$-1≤2，解得a范圍．
（3）不等式g（2x）-ah（x）≥0，即$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$-$a×\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$≥0，令t=e^x-e^-x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e²-e^-2]，不等式轉化為：t²+2-at≥0，a≤t+$\frac{2}{t}$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：e^x=g（x）+h（x），e^-x=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
聯(lián)立解得：g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$．
由y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，化為：（e^x）²-2ye^x-1=0，e^x＞0，解得e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$．
∴h^-1（x）=ln$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$（x∈R）．
（2）φ（x）=g（x-1），函數(shù)φ（x）在[-1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（-$\frac{a}{2}$），
轉化為：函數(shù)g（x）在[-2，2]上滿足：g（2a）＞g（-$\frac{a}{2}$-1），
由于函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
∴|2a|＞|-$\frac{a}{2}$-1|，-2≤2a≤2，-2≤-$\frac{a}{2}$-1≤2，解得a∈$[-1，-\frac{2}{5}）$∪$（\frac{2}{3}，1]$．
（3）不等式g（2x）-ah（x）≥0，即$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$-$a×\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$≥0，
令t=e^x-e^-x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e²-e^-2]，
不等式轉化為：t²+2-at≥0，∴a≤t+$\frac{2}{t}$，∵t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，當且僅當t=$\sqrt{2}$時取等號．
∴a≤2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)的運算性質及其函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、不等式的解法、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．