Question

17．已知F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，過F的直線與拋物線交于A、B兩點，AB中點為C，過C作拋物線的準線的垂線交準線于C₁點，若CC₁中點M的坐標為（$\sqrt{2}$，4），則p=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先設(shè)A，B的坐標，根據(jù)A，B滿足拋物線方程將其代入得到兩個關(guān)系式，再將兩個關(guān)系式相減根據(jù)直線的斜率，求出AB的方程，代入拋物線方程，利用縱坐標的值可求出p的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則其準線為x=-$\frac{p}{2}$
∵CC₁中點M的坐標為（$\sqrt{2}$，4），∴y₁+y₂=8，
C（2$\sqrt{2}$+$\frac{p}{2}$，4），F(xiàn)（$\frac{P}{2}$，0），可得AB的斜率為：$\sqrt{2}$，
AB的方程為：y=$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入拋物線方程可得：y²-$\sqrt{2}$py-p²=0
∴y₁+y₂=$\sqrt{2}p$，
可得$\sqrt{2}$p=8，
∴p=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．