Question

15．一臺(tái)機(jī)器使用時(shí)間較長(zhǎng)，但還可以使用．它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，如表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果：

轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒）	16	14	12	8
每小時(shí)生產(chǎn)有 缺點(diǎn)的零件數(shù)y（件）	11	9	8	5

（1）用相關(guān)系數(shù)r對(duì)變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；
（2）如果y與x有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；
（3）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件最多為10個(gè)，那么，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（結(jié)果保留整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=438，t=m²-1，$\sum_{i=1}^{4}$y_i²=291，$\sqrt{656.25}$≈25.62．
參考公式：相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}•\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$與相關(guān)系數(shù)r的值，判斷y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；
（2）求出回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$的系數(shù)$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫(xiě)出線性回歸方程；
（3）利用回歸方程求出$\stackrel{∧}{y}$≤10的x值即可．

解答 解�。�1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（16+14+12+8）=12.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（11+9+8+5）=8.25，
4$\overline{x}$$\overline{y}$=4×12.5×8.25=412.5，…（2分）
所以相關(guān)系數(shù)r=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{（{{\sum_{i=4}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}）（{{\sum_{i=1}^{4}y}_{i}}^{2}-{4\overline{y}}^{2}）}}$
=$\frac{438-412.5}{\sqrt{（660-625）×（291-272.25）}}$
=$\frac{25.5}{\sqrt{656.25}}$
≈$\frac{25.5}{25.62}$
≈0.995；…（4分）
因?yàn)閞＞0.75，所以y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；          …（5分）
（2）回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$≈0.7286，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5，
∴所求線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.728 6x-0.857 5．…（9分）
（3）要使$\stackrel{∧}{y}$≤10，即0.728 6x-0.857 5≤10，
解得x≤14.901 9≈15．
所以機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒以下．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相關(guān)系數(shù)r與線性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．