Question

12．已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，且cos∠BAC=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，BC=26．
（1）求AB的長；      
（2）求cosB；      
（3）求AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理即可得出．
（2）利用和差公式與誘導公式即可得出．
（3）利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）因為$cos∠BAC=\frac{4}{5}，cosC=\frac{5}{13}$
所以$sin∠BAC=\frac{3}{5}，sinC=\frac{12}{13}$…（1分）
由正弦定理得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sin∠BAC}$…（3分）
所以$AB=\frac{BCsinC}{sin∠BAC}=40$…（4分）
（2）cosB=-cos（∠C+∠BAC）=sinCsin∠BAC-cosCcos∠BAC=$\frac{16}{65}$…（8分）
（3）因為D是BC的中點，
所以BD=13   …（9分）
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB×BDcosB=${40^2}+{13^2}-2×40×13×\frac{16}{65}$=1513…（11分）
所以$AD=\sqrt{1513}$…（12分）

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．