Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx（m為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)$m≥\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，設(shè)g（x）=2f（x）+x²的兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，（x₁＜x₂）恰為h（x）=lnx-cx²-bx的零點(diǎn)，求$y=（{x_1}-{x_2}）{h^'}（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，由x₁，x₂為h（x）=lnx-cx²-bx的零點(diǎn)，得到$ln{x_1}-cx_1^2-b{x_1}=0，ln{x_2}-cx_2^2-b{x_2}=0$，求出$b=\frac{{ln\frac{x_1}{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}-c（{{x_1}+{x_2}}）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}，x＞0$，
當(dāng)m≤0時(shí)，1-mx＞0故f'（x）＞0，
即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)m＞0時(shí)，由1-mx＞0解得$x＜\frac{1}{m}$，
即當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{m}$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
由1-mx＜0，解得$x＞\frac{1}{m}$，即當(dāng)$x＞\frac{1}{m}$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{0，\frac{1}{m}}）$，單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為$（{\frac{1}{m}，+∞}）$
（2）g（x）=2f（x）+x²=2lnx-2mx+x²，
則$g'（x）=\frac{{2（{{x^2}-mx+1}）}}{x}$，
所以g'（x）的兩根x₁，x₂即為方程x²-mx+1=0的兩根．
因?yàn)?m≥\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，所以△=m²-4＞0，x₁+x₂=m，x₁x₂=1，
又因?yàn)閤₁，x₂為h（x）=lnx-cx²-bx的零點(diǎn)，
所以$ln{x_1}-cx_1^2-b{x_1}=0，ln{x_2}-cx_2^2-b{x_2}=0$，
兩式相減得$ln\frac{x_1}{x_2}-c（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}+{x_2}}）-b（{{x_1}-{x_2}}）=0$，
得$b=\frac{{ln\frac{x_1}{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}-c（{{x_1}+{x_2}}）$，
而$h'（x）=\frac{1}{x}-2cx-b$，
$y=（{{x_1}-{x_2}}）[{\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}-c（{{x_1}+{x_2}}）-b}]$
=$（{{x_1}-{x_2}}）[{\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}-c（{{x_1}+{x_2}}）-\frac{{ln\frac{x_1}{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}+c（{{x_1}+{x_2}}）}]$
=$\frac{{2（{{x_1}-{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}-ln\frac{x_1}{x_2}=2\frac{{\frac{x_1}{x_2}-1}}{{\frac{x_1}{x_2}+1}}-ln\frac{x_1}{x_2}$，
令$\frac{x_1}{x_2}=t（{0＜t＜1}），y=2\frac{t-1}{t+1}-lnt$，
由${（{{x_1}+{x_2}}）^2}={m^2}$得$x_1^2+x_2^2+2{x_1}{x_2}={m^2}$
因?yàn)閤₁x₂=1，兩邊同時(shí)除以x₁+x₂，得$t+\frac{1}{t}+2={m^2}$，
因?yàn)?m≥\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，故$t+\frac{1}{t}≥\frac{5}{2}$，解得$t≤\frac{1}{2}$或t≥2，所以$0＜t≤\frac{1}{2}$，
設(shè)$G（x）=2\frac{t-1}{t+1}-lnt$，所以$G'（x）=2\frac{{-{{（{t-1}）}^2}}}{{t（{t+1}）}}＜0$，
則y=G（t）在$（{0，\frac{1}{2}}]$上是減函數(shù)，
所以$G{（t）_{min}}=G（{\frac{1}{2}}）=-\frac{2}{3}+ln2$，
即$y=（{{x_1}-{x_2}}）h'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$的最小值為$-\frac{2}{3}+ln2$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、是一道綜合題．