Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y-2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足MB⊥AB，直線AM與橢圓交于點(diǎn)P（與A點(diǎn)不重合），以MP為直徑的圓交線段BP于點(diǎn)N，求證：直線MN過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y-2=0相切，求出$b=\sqrt{2}$，再由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出a=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)M（2，t），則直線AM的方程為：$y=\frac{t}{4}（x+2）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{t}{4}（x+2）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，得$（1+\frac{t^2}{8}）{x^2}+\frac{t^2}{2}x+\frac{t^2}{2}-4=0$，由此利用韋達(dá)定理、直線斜率、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能證明直線MN過定點(diǎn)．

解答 解：（1）∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y-2=0相切．
∴原點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離 $d=\frac{2}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\sqrt{2}$，
∴$b=\sqrt{2}$，
又橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
則$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴a=2，
∴橢圓C方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$…（5分）
證明：（2）設(shè)M（2，t），則直線AM的方程為：$y=\frac{t}{4}（x+2）$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{t}{4}（x+2）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，消去y得，$（1+\frac{t^2}{8}）{x^2}+\frac{t^2}{2}x+\frac{t^2}{2}-4=0$…（7分）
${x_A}•{x_P}=\frac{{4{t^2}-32}}{{{t^2}+8}}$，則${x_P}=\frac{{16-2{t^2}}}{{{t^2}+8}}，{y_P}=\frac{t}{4}（{x_P}+2）=\frac{8t}{{{t^2}+8}}$
故${k_{PB}}=\frac{y_P}{{{x_P}-2}}=\frac{{\frac{8t}{{{t^2}+8}}}}{{\frac{{16-2{t^2}}}{{{t^2}+8}}-2}}=-\frac{2}{t}$…（9分）
又以MP為直徑的圓上與線段BP交于點(diǎn)N，則MN⊥BP
故直線MN方程為$y-t=\frac{t}{2}（x-2）$，即$y=\frac{t}{2}x$，
直線MN過定點(diǎn)O（0，0）． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、韋達(dá)定理、直線性質(zhì)的合理運(yùn)用．