Question

14．若關(guān)于x的不等式xe^x-ax+a＜0的解集為（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$
• B． $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$
• C． $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$
• D． $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$

Answer 1

分析 由題意設(shè)g（x）=xe^x，y=ax-a，將條件轉(zhuǎn)化為：g（x）=xe^x在直線y=ax-a下方，有一個(gè)交點(diǎn)，求出g′（x）后，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出g（x）的單調(diào)性，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象和斜率公式求出K_PA、K_PB，可得a的取值范圍．

解答 解：由題意設(shè)g（x）=xe^x，y=ax-a，
∵原不等式有唯一整數(shù)解，
∴g（x）=xe^x在直線y=ax-a下方，有一個(gè)交點(diǎn)，
∵g′（x）=（x+1）e^x，
∴g（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（-1）=-$\frac{1}{e}$，
∵y=ax-a恒過(guò)定點(diǎn)P（1，0），
∴結(jié)合函數(shù)圖象得，K_PA≤a＜K_PB，
又A（-2，$-\frac{2}{{e}^{2}}$），B（-1，$-\frac{1}{e}$），
∴K_PA=$\frac{2}{3{e}^{2}}$，K_PB=$\frac{1}{2e}$，即$\frac{2}{3{e}^{2}}$≤a＜$\frac{1}{2e}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)圖象與不等式的問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及斜率公式，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造法，屬于中檔題．