Question

5．如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其東北方向與它相距32海里的B處有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正東28$\sqrt{2}$海里處．
（1）求此時該外國船只與D島的距離；
（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時8海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離D島24海里處，不讓其進入D島24海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值．（參考數(shù)據(jù)：sin36°52'≈0.6，sin53°08'≈0.8）

Answer 1

分析 （1）△ABD中，由余弦定理求解得BD的值，即為所求．
（2）過點B作BC⊥AD于點C，以點D為圓心、以24為半徑的圓交BC于點E，連結AE，DE，
則由題意可得，我海監(jiān)船在點C處攔截住外國船只時，我海監(jiān)船的速度
v取得最小值．求得AC=BC、CD的值，再求得CE、BE、AE的值，可得外國船只沿正南方向航行的時間，從而求得我海監(jiān)船的速度v，由sin∠EAC=$\frac{CE}{AE}$求得∠EAC 的值，進而可求海監(jiān)船的航向．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）依題意，在△ABD中，∠DAB=45°，
由余弦定理得$D{B^2}=A{D^2}+A{B^2}-2AD•AB•cos{45^0}={（{28\sqrt{2}}）^2}+{32^2}-2×28\sqrt{2}×32×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=800$，
∴$DB=20\sqrt{2}$．…（4分）
即此時該外國船只與D島的距離為$20\sqrt{2}$海里．…（5分）
（2）過點B作BC⊥AD于點C，
在Rt△ABC中，$AC=BC=16\sqrt{2}$，
∴$CD=AD-AC=12\sqrt{2}$，…（6分）
以D為圓心，24為半徑的圓交BC于點E，連結AE，DE，
在Rt△DEC中，$CE=\sqrt{E{D^2}-C{D^2}}=12\sqrt{2}$，
∴$BE=4\sqrt{2}$，…（7分）
又$AE=\sqrt{A{C^2}+C{E^2}}=20\sqrt{2}$，
∴$sin∠EAC=\frac{CE}{AE}=\frac{3}{5}⇒∠EAC≈{36^0}52'$，…（9分）
外國船只到達點E的時間$t=\frac{BE}{8}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（小時），
∴海監(jiān)船的速度$v≥\frac{AE}{t}=40$（海里/小時），…（11分）
故海監(jiān)船的航向為北偏東90⁰-36⁰52'=53⁰08'，速度的最小值為40海里/小時．…（12分）

點評 本題主要考查解三角形的實際應用，直角三角形中的邊角關系、余弦定理的應用，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．