Question

18．已知兩個(gè)命題p：?x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，q：?x∈R，y=（2m²-m）^x為增函數(shù)．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得，命題p和命題q一個(gè)為真命題，另一個(gè)為假命題．先求得當(dāng)p真q假時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，以及當(dāng)p假q真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，再把這兩個(gè)范圍取并集，即得所求．

解答 解：由題意若p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得，命題p和命題q一個(gè)為真命題，另一個(gè)為假命題．
若p是真命題，：?x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，可得$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$＞m恒成立，即 m＜-$\sqrt{2}$，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\sqrt{2}$）．
若命題q是真命題，?x∈R，y=（2m²-m）^x為增函數(shù)，則有2m²-m＞1，
解得 m＞1，或m＜$-\frac{1}{2}$．
當(dāng)p真q假時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：∅；
當(dāng)p假q真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
綜上，所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題的真假，一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．