Question

8．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和滿足a_n＞0，${a_n}^2+2{a_n}=4{S_n}+3$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推關(guān)系即可得出．
（II）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}^2+2{a_1}=4{S_1}+3=4{a_1}+3$，∵a_n＞0，∴a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}^2+2{a_n}-{a_{n-1}}^2-2{a_{n-1}}=4{S_n}+3-4{S_{n-1}}-3$，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，因此數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+1．
（II）解：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{6n+9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．