Question

13．已知t＞0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x{（x-t）}^{2}，x≤t\\ \frac{1}{4}x，x＞t\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是（3，4）．

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個不同的零點，則方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三個解，即函數(shù)f（x）的圖象與y=1和y=t+1各有三個零點，進而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x{（x-t）}^{2}，x≤t\\ \frac{1}{4}x，x＞t\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3x-t）{（x-t）}^{\;}，x≤t\\ \frac{1}{4}，x＞t\end{array}\right.$，
當x＜$\frac{t}{3}$，或x＜t時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
當$\frac{t}{3}$＜x＜t時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
故當x=$\frac{t}{3}$時，函數(shù)f（x）取極大值$\frac{4}{27}{t}^{3}$，
函數(shù)f（x）有兩個零點0和t，
若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個不同的零點，
則方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三個解，
即函數(shù)f（x）的圖象與y=1和y=t+1各有三個零點，
由y|_x=t=$\frac{1}{4}x$=$\frac{t}{4}$，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{t}{4}＜1＜\frac{4}{27}{t}^{3}\\ \frac{t}{4}＜t+1＜\frac{4}{27}{t}^{3}\end{array}\right.$，
$\frac{4}{27}{t}^{3}-t-1$=$\frac{1}{27}$（t-3）（2t+3）²＞0得：t＞3，
故不等式的解集為：t∈（3，4），
故答案為：（3，4）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點個數(shù)的判定定理，分段函數(shù)的應用，難度中檔．