Question

4．方程$\left\{{\begin{array}{l}x=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t+2cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t+\sqrt{3}sinθ\end{array}}$
（1）當(dāng)t=0時，θ為參數(shù)，此時方程表示曲線C₁請把C₁的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時，t為參數(shù)，此時方程表示曲線C₂請把C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
（3）在（1）（2）的條件下，若P為曲線C₁上的動點，求點P到曲線C₂距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）（2）消去參數(shù)，可化參數(shù)方程為普通方程；
（3）由（1）（2）可知P到C₂的距離為$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-4|}}{{\sqrt{5}}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)t=0時，原方程即為$\left\{{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}}\right.$，消參得${C_1}：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（3分）
（2）當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$．原方程即為$\left\{{\begin{array}{l}x=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t+1\\ y=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t+\frac{3}{2}\end{array}}\right.$，消參得C₂：x+2y-4=0…（6分）
（3）由（1）（2）可知P到C₂的距離為$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-4|}}{{\sqrt{5}}}$
當(dāng)$sin（θ+\frac{π}{6}）=-1$時，${d_{max}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程化為普通方程，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．