Question

19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2c-a=2bcosA．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)等式2bcosA=2c-a，可得（2cosB-1）sinA=0，結(jié)合sinA＞0得到cosB，從而解出B；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，解出12=a²+c²-ac．再利用基本不等式得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵2c-a=2bcosA，
∴根據(jù)正弦定理，得2sinC-sinA=2sinBcosA，
∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，
∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA-sinA，
化簡(jiǎn)得（2cosB-1）sinA=0
∵A是三角形的內(nèi)角可得sinA＞0，∴2cosB-1=0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得12=a²+c²-ac．
∴（a+c）²-3ac=12，∴12≥（a+c）²-$\frac{3}{4}$ac，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2$\sqrt{3}$時(shí)）
∴a+c≤4$\sqrt{3}$，
∴a+c的最大值為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了正余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式、運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．