Question

11．已知F為拋物線4y²=x的焦點，點A，B都是拋物線上的點且位于x軸的兩側，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=15（O為原點），則△ABO和△AFO的面積之和的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{65}}{2}$

Answer 1

分析 設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得m的值，根據(jù)三角形的面積公式，利用基本不等式的性質，即可求得△ABO和△AFO的面積之和的最小值．

解答 解：設直線AB的方程為：x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB與x軸的交點為M（m，0），
$\left\{\begin{array}{l}{4{y}^{2}=x}\\{x=ty+m}\end{array}\right.$，可得4y²-ty-m=0，
根據(jù)韋達定理有y₁•y₂=-$\frac{m}{4}$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=15
∴x₁•x₂+y₁•y₂=16，從而16（y₁•y₂）²+y₁•y₂-15=0，
∵點A，B位于x軸的兩側，
∴y₁•y₂=-1，故m=4．
不妨令點A在x軸上方，則y₁＞0，
又F（$\frac{1}{16}$，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×4×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{16}$y₁=$\frac{65}{32}$y₁+$\frac{2}{{y}_{1}}$≥2$\sqrt{\frac{65{y}_{1}}{32}×\frac{2}{{y}_{1}}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
當且僅當$\frac{65}{32}$y₁=$\frac{2}{{y}_{1}}$，即y₁=$\frac{8\sqrt{65}}{65}$時，取“=”號，
∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
故選D．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．