Question

9．如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作⊙O的切線AP與割線AC，P為切點(diǎn)，AC與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，BD∥AP，PC與BD交于點(diǎn)N．
（1）在線段BC上是否存在一點(diǎn)M，使A，P，O，M四點(diǎn)共圓？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若CP=CD，證明：CB=CN．

Answer 1

分析 （1）M是BC的中點(diǎn)時(shí)，證明對(duì)角互補(bǔ)，可得A，P，O，M四點(diǎn)共圓；
（2）利用弦切角定理、圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：M是BC的中點(diǎn)時(shí)，A，P，O，M四點(diǎn)共圓．
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴OM⊥AM，
∵AP是圓O的切線，
∴OP⊥PA，
∴∠OMA+∠OPA=180°，
∴A，P，O，M四點(diǎn)共圓．
（2）證明：∵BD∥AP，∴∠APC=∠BNC，
∵AP是圓O的切線，
∴∠APC=∠PDC，
∵CP=CD，
∴∠PDC=∠DPC，
∵∠DPC=∠NBC，
∴∠BNC=∠NBC，
∴CB=CN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查弦切角定理、圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，屬于中檔題．