Question

已知函數，其中且.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若函數有兩個相異的零點.

(i)求實數的取值范圍；

(ii)求證：.

Answer 1

（Ⅰ），                                          

由于，所以，

所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.                  

(Ⅱ) ，。令。

（i）當時，在單調遞增，在單調遞減。

所以，即。                              

所以。                                                              

當時，，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，要使在上有兩個相異零點，則，此時方程無解。

綜上所得，實數的取值范圍為。                                    

（ii）證明：先證明不等式：當時，對任意的，。

令，則，則在單調遞減，又，所以，即對任意的，。    

由（Ⅰ）得函數的兩個零點（不妨設）滿足，故。

由于，又由（Ⅰ）得在單調遞減，從而，即。