【題目】設函數(shù)f(x)=﹣x3+ax2+bx+c的導數(shù)f'(x)滿足f'(﹣1)=0,f'(2)=9.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上的最大值為20,求c的值.
(3)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有三個交點,求c的范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù)的導數(shù)f′(x)=﹣3x2+2ax+b,
∵f'(x)滿足f'(﹣1)=0,f'(2)=9,
∴ 得a=3,b=9,
則f(x)=﹣x3+3x2+9x+c,f′(x)=﹣3x2+6x+9=﹣3(x2﹣2x﹣3),
由f′(x)>0得﹣3(x2﹣2x﹣3)>0得x2﹣2x﹣3<0,得﹣1<x<3,
此時函數(shù)單調(diào)遞增,即遞增區(qū)間為(﹣1,3),
由f′(x)<0得﹣3(x2﹣2x﹣3)<0得x2﹣2x﹣3>0,得x<﹣1或x>3,
此時函數(shù)單調(diào)遞減,即遞減區(qū)間為(﹣∞,﹣1),(3,+∞);
(2)解:由(1)知,當x=﹣1時,函數(shù)取得極小值f(﹣1)=1+3﹣9+c=c﹣5,
f(﹣2)=8+12﹣18+c=2+c,f(2)=﹣8+12+18+c=22+c,
則f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上的最大值為f(2)=22+c=20,
則c=﹣2.
(3)解:由(1)知當x=﹣1時,函數(shù)取得極小值f(﹣1)=1+3﹣9+c=c﹣5,
當x=3時,函數(shù)取得極大值f(3)=﹣27+27+27+c=27+c,
若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有三個交點,
則 得 ,得﹣27<c<5,
即c的范圍是(﹣27,5).
【解析】(1)求函數(shù)的導數(shù),根據(jù)條件建立方程組關系求出a,b的值,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上的最大值,建立方程關系即可求c的值.(3)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有三個交點,則等價為函數(shù)的極大值大于0,極小值小于0,解不等式即可求c的范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本求導法則的相關知識,掌握若兩個函數(shù)可導,則它們和、差、積、商必可導;若兩個函數(shù)均不可導,則它們的和、差、積、商不一定不可導,以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學史上一個著名數(shù)列,在斐波那契數(shù)列{an}中,a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*)則a8=;若a2018=m2+1,則數(shù)列{an}的前2016項和是 . (用m表示).
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【題目】已知函數(shù), .
(1)如果對任意, 恒成立,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)的兩個零點為,證明:
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【題目】實數(shù)m取什么數(shù)值時,復數(shù)z=m2﹣1+(m2﹣m﹣2)i分別是:
(1)實數(shù);
(2)虛數(shù);
(3)純虛數(shù).
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【題目】已知二次函數(shù)g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在區(qū)間[0,3]上有最大值4,最小值0.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)設f(x)= .若f(2x)﹣k2x≤0在x∈[﹣3,3]時恒成立,求k的取值范圍.
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【題目】如圖1,已知長方形ABCD中,AB=2,AD=1,E為DC的中點.將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE.
(1)求證:平面BDE⊥平面ADE
(2)求三棱錐 C﹣BDE的體積
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在點x0處取得極大值5,其導函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過點(1,0),(2,0),如圖所示.求:
(1)x0的值;
(2)a,b,c的值.
(3)若曲線y=f(x)(0≤x≤2)與y=m有兩個不同的交點,求實數(shù)m的取值范圍.
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