Question

8．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，M，N分別是CC₁，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CN∥平面AMB₁；
（2）若二面角A-MB₁-C的大小為45°，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)AB₁的中點(diǎn)為P，連接NP、MP，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得線線平行，利用線面平行的判定，可得CN∥平面AMB₁；
（2）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出平面的法向量，利用二面角A-MB₁-C的大小為45°，建立方程，即可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

解答 （1）證明：設(shè)AB₁的中點(diǎn)為P，連接NP、MP…（1分）
∵M(jìn)、N分別是棱CC₁、AB的中點(diǎn)
∴CM∥$\frac{1}{2}$AA₁，且CM=$\frac{1}{2}$AA₁，NP∥$\frac{1}{2}$AA₁，且NP=$\frac{1}{2}$AA₁，
∴CM∥NP，CM=NP…（2分）
∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁…（4分）
（2）解：以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，得C（0，0，0），A（1，$\sqrt{3}$，0），B（-1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)AA₁=2a，則M（0，0，a），B₁（-1，$\sqrt{3}$，2a），$\overrightarrow{MA}$=（1，$\sqrt{3}$，-a），$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，a），$\overrightarrow{CM}$=（0，0，a）
設(shè)平面AMB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-az=0}\\{-x+\sqrt{3}y+az=0}\end{array}\right.$．
取$\overrightarrow{n}$=（a，0，1），
設(shè)平面MB₁C的一個(gè)法向量是$\overrightarrow{m}$=（u，v，w），則$\left\{\begin{array}{l}{-u+\sqrt{3}v+aw=0}\\{aw=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，0）
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴AA₁=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．