Question

7．有下列四個命題：
①若α、β均為第一象限角，且α＞β，則sin α＞sinβ；
②若函數y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，則a=$\frac{1}{2}$；
③函數y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$是奇函數；
④函數y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是增函數；
其中正確命題的序號為④．

Answer 1

分析 ①舉例說明，令α=30°，β=-300°滿足均為第一象限角，且α＞β，但sin 30°＜sin （-300°），可判斷①錯誤；
②若函數y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，則a=±$\frac{1}{2}$，可判斷②錯誤；
③利用奇函數的定義可判斷函數y=f（x）=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$不是奇函數，可判斷③錯誤；
④利用余弦函數y=cosx在[0，π]上是減函數，知y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函數，可判斷④正確；

解答 解：對于①，α=30°，β=-300°均為第一象限角，且α＞β，但sin 30°=$\frac{1}{2}$＜sin（-300°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故①錯誤；
對于②，若函數y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，即T=$\frac{2π}{|a|}$=4π，則a=±$\frac{1}{2}$，故②錯誤；
對于③，因為函數f（-x）=$\frac{sin（-2x）-sin（-x）}{sin（-x）-1}$=$\frac{sin2x-sinx}{sinx+1}$≠-$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$=-f（x），
所以函數y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$不是奇函數，故③錯誤；
對于④，因為y=cosx在[0，π]上是減函數，
所以函數y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函數，故④正確；
綜上所述，正確命題的序號為④．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，突出考查正弦函數與余弦的周期性、奇偶性與單調性、考查轉化思想與推理運算能力，屬于中檔題．