Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=n•（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n-1．變形為：a_n+1-1=2（a_n-1）．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n-1．變形為：a_n+1-1=2（a_n-1）．a(chǎn)₁-1=1．
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，
∴a_n-1=2^n-1，解得a_n=1+2^n-1．
（II）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
可得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．