Question

18．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=ρcosθ+2．
（Ⅰ）寫出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若$α=\frac{π}{4}$，求直線l的極坐標(biāo)方程，以及直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由參數(shù)方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，平方化簡(jiǎn)即可得到所求普通方程；
（Ⅱ）寫出直線l的參數(shù)方程和普通方程，結(jié)合直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系，可得直線的極坐標(biāo)方程，再聯(lián)立曲線C的極坐標(biāo)方程，即可得到所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）直線l經(jīng)過定點(diǎn)（-1，1），-----------------------------------------------------------------（2分）
由ρ=ρcosθ+2得ρ²=（ρcosθ+2）²，
得曲線C的普通方程為x²+y²=（x+2）²，化簡(jiǎn)得y²=4x+4；---（5分）
（Ⅱ）若$α=\frac{π}{4}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$的普通方程為y=x+2，----------------------------------（6分）
則直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=ρcosθ+2，------------------------------------------------（8分）
聯(lián)立曲線C：ρ=ρcosθ+2．
得sinθ=1，取$θ=\frac{π}{2}$，得ρ=2，所以直線l與曲線C的交點(diǎn)為$（2，\;\frac{π}{2}）$．------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．