Question

20．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=6cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（普通方程）；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{7}$，求直線的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（普通方程）；
（2）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程，整理可得t²-4tcosα-5=0，利用參數(shù)的幾何意義，建立方程，即可求直線的傾斜角α的值．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=6cosθ，可得ρ²=6ρcosθ，直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x=0，即（x-3）²+y²=9
（2）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程，整理可得t²-4tcosα-5=0
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，則t₁+t₂=4cosα，t₁t₂=-5，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{16co{s}^{2}α+20}$=2$\sqrt{7}$，
∴cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵α∈[0，π），
∴α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．