Question

8．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}3x-2y-3≤0\\ x-3y+6≥0\\ 2x+y-2≥0\end{array}\right.$，在這兩個實數(shù)x，y之間插入三個實數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項和的最大值為9．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的關(guān)系推出三項和關(guān)于x，y的表達式，畫出約束條件的可行域，利用線性規(guī)劃知識求解最值．

解答 解：設構(gòu)成等差數(shù)列的五個數(shù)分別為x，a，b，c，y，
因為等差數(shù)列的公差$d=\frac{y-x}{4}$，
則$b+c+y=（x+2×\frac{y-x}{4}）+（x+3×\frac{y-x}{4}）+y=\frac{3}{4}（x+3y）$
（另解：因為由等差數(shù)列的性質(zhì)有x+y=a+c=2b，
所以$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．）
則等差數(shù)列后三項和為
$b+c+y=\frac{x+y}{2}+\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}+y$=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}y$
=$\frac{3}{4}（x+3y）$．）．
所以設z=x+3y，實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}3x-2y-3≤0\\ x-3y+6≥0\\ 2x+y-2≥0\end{array}\right.$，
作出約束條件所表示的可行域如圖所示：
可知當經(jīng)過點A（3，3）時，
目標函數(shù)z=x+3y有最大值12，此時b+c+y有最大值9．
故答案為：9．

點評 本題考查數(shù)列以及線性規(guī)劃的簡單應用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力．