Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n=2n-1．由數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，推導(dǎo)出{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，由此能求出$_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{2n-1}{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=（2n-1）•2^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，
∴a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．
∴b₁=1，b_n+1（2n+1-2n+1）=b_n，即$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{1}{2}$，
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{2n-1}{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=（2n-1）•2^n-1，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和：
T_n=1•2⁰+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2•2+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ
=1+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+3-2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．