Question

13．已知命題p：指數(shù)函數(shù)f（x）=（2a-6）^x在R上單調(diào)遞減，命題q：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個(gè)實(shí)根均大于3，若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出命題p為真命題時(shí)a的范圍，利用二次方程的實(shí)根分布求出命題q為真命題時(shí)a的范圍；據(jù)復(fù)合命題的真假與構(gòu)成其簡(jiǎn)單命題真假的關(guān)系將“p或q為真，p且q為假”轉(zhuǎn)化為p q的真假，列出不等式解得．

解答 解：若p真，則f（x）=（2a-6）^x在R上單調(diào)遞減，
∴0＜2a-6＜1，
∴3＜a＜$\frac{7}{2}$．
若q真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，則應(yīng)滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{△{=（-3a）}^{2}-4（{2a}^{2}+1）≥0}\\{-\frac{-3a}{2}＞3}\\{f（3）=9-9a+{2a}^{2}+1＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-2}\\{a＞2}\\{a＜2或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴a＞$\frac{5}{2}$，
又由題意應(yīng)有p真q假或p假q真．
①若p真q假，則 $\left\{\begin{array}{l}{3＜a＜\frac{7}{2}}\\{a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，a無(wú)解．
②若p假q真，則 $\left\{\begin{array}{l}{a≤3或a≥\frac{7}{2}}\\{a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴由2a-6＞0且2a-6≠1，可得a＞$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的真假與簡(jiǎn)單命題真假的關(guān)系；考查二次方程實(shí)根分布．