Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}+1}}$+1，a∈R以下說法正確的是（　�。�
①函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形
②函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值
③函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為三個(gè)
④當(dāng)a＞0時(shí)，若1＜m＜n，則f（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 根據(jù)y=f（x）-1的奇偶性判斷①；令f′（x）=0，根據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷②；根據(jù)方程f（x）=0的解得個(gè)數(shù)判斷③；利用f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性和極限判斷④．

解答 解：對于①，令g（x）=f（x）-1=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$，則g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，
∴f（x）的圖象關(guān)于（0，1）對稱，故①正確；
對于②，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1，顯然f（x）無極值，故②錯(cuò)誤；
對于③，令f（x）=0得$\frac{ax}{{x}^{2}+1}+1=0$，∴x²+ax+1=0，
顯然方程不可能3解，即f（x）不可能有3個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
對于④，當(dāng)x＞1，a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{a-a{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，又x→+∞時(shí)，f（x）=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}}+1$→1，
作出f（x）在（1，+∞）上的大致函數(shù)圖象如圖，

由圖象可知$\frac{f（m）+f（n）}{2}$＞f（$\frac{m+n}{2}$），即f（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$）．故④正確．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷，屬于中檔題．