Question

11．在正項等比數(shù)列{a_n}和正項等差數(shù)列{b_n}中，已知a₁，a₂₀₁₇的等比中項與b₁，b₂₀₁₇的等差中項相等，且$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{2017}}$≤1，當a₁₀₀₉取得最小值時，等差數(shù)列{b_n}的公差d的取值集合為（　�。�

• A． {d|d≥$\frac{1}{672}$}
• B． {d|0＜d＜$\frac{1}{672}$}
• C． {$\frac{1}{672}$}
• D． {d|d≥$\frac{3}{2017}$}

Answer 1

分析 運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，可得a₁₀₀₉=b₁₀₀₉，運用基本不等式求得（b₁+b₂₀₁₇）（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{2017}}$）的最小值，可得b₁+b₂₀₁₇取得最小值9，即有b₁₀₀₉的最小值，運用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得d的值．

解答 解：在正項等比數(shù)列{a_n}和正項等差數(shù)列{b_n}中，
已知a₁，a₂₀₁₇的等比中項與b₁，b₂₀₁₇的等差中項相等，
可得$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2017}}$=$\frac{_{1}+_{2017}}{2}$，
即為a₁₀₀₉=b₁₀₀₉，當a₁₀₀₉取得最小值時，即為當b₁₀₀₉取得最小值時．
由（b₁+b₂₀₁₇）（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{2017}}$）=5+$\frac{_{2017}}{_{1}}$+$\frac{4_{1}}{_{2017}}$≥5+2$\sqrt{\frac{_{2017}}{_{1}}•\frac{4_{1}}{_{2017}}}$=9，
當且僅當b₂₀₁₇=2b₁時，取得等號．
再由$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{2017}}$≤1，可得b₁+b₂₀₁₇≥$\frac{9}{\frac{1}{_{1}}+\frac{4}{_{2017}}}$≥9，
即有b₁+b₂₀₁₇取得最小值9，此時b₂₀₁₇=2b₁，
可得最小值b₁₀₀₉=$\frac{9}{2}$，即有b₁+1008d=$\frac{9}{2}$，b₁+2016d=2b₁，
解得d=$\frac{1}{672}$．
故選：C．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項公式的運用，基本不等式的運用，注意等號成立的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．