【題目】如圖,已知BD為圓錐AO底面的直徑,若,C是圓錐底面所在平面內(nèi)一點(diǎn),,且AC與圓錐底面所成角的正弦值為.
(1)求證:平面平面ACD;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)首先找到AC與圓錐底面所成角,求出,可得,結(jié)合圓錐的性質(zhì),可證明平面AOC,進(jìn)而可得平面平面ACD;
(2)解法一:建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的一個(gè)法向量和平面ABD的一個(gè)法向量,通過夾角公式,可求得兩法向量的夾角,進(jìn)而得到二面角的平面角的余弦值;解法二:過點(diǎn)O作交于F.過F作交DC于H,連接HO,
得為二面角的平面角,通過三角形的邊角關(guān)系求出的余弦.
(1)證明:由及圓錐的性質(zhì),
所以為等邊三角形,圓O所在平面,
所以,是AC與底面所成角,
又AC與底面所成的角的正弦值為,
在中,,,
由,,
在中,,
所以,
圓錐的性質(zhì)可知:圓O所在平面,
因?yàn)?/span>圓O所在平面,所以,
又AO,平面AOC,所以平面AOC,
又平面ACD,
故平面平面ACD;
(2)解法一:在圓O所在平面過點(diǎn)O作BD的垂線交圓O于點(diǎn)E,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OE為x軸,OD為y軸,OA為z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
由題可知,,,,
由,,
所以,
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為,
因?yàn)?/span>,,
所以
取,則,
平面ABD的一個(gè)法向量為,
所以,
二面角的平面角的余弦值為.
解法二:過點(diǎn)O作交于F.過F作交DC于H,連接HO,
所以為二面角的平面角,
在中,因?yàn)?/span>,,
所以,,
因?yàn)?/span>,
所以,即
則,
故C是HD的中點(diǎn),
所以,
在中,,
即,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān),某工廠深人貫徹科學(xué)發(fā)展觀,努力提高污水收集處理水平,其污水處理程序如下:原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理,處理后的污水(A級(jí)水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo))的概率為p(0<p<1).經(jīng)化驗(yàn)檢測(cè),若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放;若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.
某廠現(xiàn)有4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級(jí)水池,分別取樣、檢測(cè),多個(gè)污水樣本檢測(cè)時(shí),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn),混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo),則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo),若混合樣本不達(dá)標(biāo),則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn);若混合樣本達(dá)標(biāo),則原水池的污水直接排放
現(xiàn)有以下四種方案:
方案一:逐個(gè)化驗(yàn);
方案二:平均分成兩組化驗(yàn);方案三;三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn),剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn);
方案四:四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn).
化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案越"優(yōu)".
(1)若,求2個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率;
(2)①若,現(xiàn)有4個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn),請(qǐng)問:方案一、二、四中哪個(gè)最“優(yōu)"?②若“方案三”比“方案四"更“優(yōu)”,求p的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司統(tǒng)計(jì)了2010~2018年期間公司年收的增加值(萬元)以及相應(yīng)的年增長(zhǎng)率,所得數(shù)據(jù)如下所示:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
增加值 | 1555 | 2100 | 2220 | 2740 | 3135 | 3563 | 4041 | 5494.4 | 6475 |
增長(zhǎng)率 |
|
(1)通過散點(diǎn)圖可知,可用線性回歸模型擬合2010~2014年與的關(guān)系;
①求2010~2014年這5年期間公司年利潤(rùn)的增加值的平均數(shù);
②求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)從哪年開始連續(xù)三年公司利潤(rùn)增加值的方差最大?(不需要說明理由)
附:參考公式:回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1) 求函數(shù)的解析式;
(2) 如何由函數(shù)的通過適當(dāng)圖象的變換得到函數(shù)的圖象, 寫出變換過程;
(3) 若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),平面與平面所成銳二面角為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)①當(dāng),時(shí),若對(duì)于任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值;②當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平(兩邊臂不等長(zhǎng))稱黃金,某顧客要購(gòu)買黃金,售貨員先將的砝碼放在左盤,將黃金放于右盤使之平衡后給顧客;然后又將的砝碼放入右盤,將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客,則顧客實(shí)際所得黃金( 。
A. 大于B. 小于C. 大于等于D. 小于等于
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試專家組到某學(xué)校進(jìn)行測(cè)試抽查,在高三年級(jí)隨機(jī)抽取100名男生參加實(shí)心球投擲測(cè)試,測(cè)得實(shí)心球投擲距離(均在5至15米之內(nèi))的頻數(shù)分布表如下(單位:米):
分組 | |||||
頻數(shù) | 9 | 23 | 40 | 22 | 6 |
規(guī)定:實(shí)心球投擲距離在之內(nèi)時(shí),測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲己谩,以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率.
(1)求,并估算該校高三年級(jí)男生實(shí)心球投擲測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡陌俜直?
(2)現(xiàn)在從實(shí)心球投擲距離在,之內(nèi)的男生中用分層抽樣的方法抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人參加提高體能的訓(xùn)練,求:在被抽取的3人中恰有兩人的實(shí)心球投擲距離在內(nèi)的概率.
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