Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＝2n²＋2n，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n＝2－b_n.

(1) 求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；

(2) 設(shè)c_n＝a·b_n，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，c_n＋1<c_n.

Answer 1

 (1) 解：a₁＝S₁＝4，當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.

又a₁＝4適合上式，∴a_n＝4n(n∈N^*)．

將n＝1代入T_n＝2－b_n，得b₁＝2－b₁，∴T₁＝b₁＝1.

當(dāng)n≥2時，T_n－1＝2－b_n－1，T_n＝2－b_n，

∴b_n＝T_n－T_n－1＝b_n－1－b_n，

∴b_n＝b_n－1，∴b_n＝2^1－n.

(2) 證明：證法1：由c_n＝a·b_n＝n²·2^5－n，

得

當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，，即c_n＋1<c_n.

證法2：由c_n＝a·b_n＝n²·2^5－n，

得c_n＋1－c_n＝2^4－n[(n＋1)²－2n²]＝2^4－n[－(n－1)²＋2]．

當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，c_n＋1－c_n<0，即c_n＋1<c_n.