Question

6．設(shè)F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值為-2．

Answer 1

分析 由題意可知：點(diǎn)P（x，y），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2，由-2≤x≤2，即可求得-2≤$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2≤1，求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值．

解答 解：由橢圓方程可知：a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
設(shè)點(diǎn)P（x，y），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x）（$\sqrt{3}$-x）+y²=x²-3+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2，
∵-2≤x≤2，0≤x²≤4，
∴-2≤$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2≤1，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．