Question

12．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且滿足：f（x）=f（4-x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x-1，則不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集為（　�。�

• A． （1，3）
• B． （-1，1）
• C． （-1，0）∪（1，3）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性，求出當(dāng)x∈[-1，3]上的解析式，結(jié)合圖象將不等式轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：若x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x-1，
∴f（-x）=-x-1，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=-x-1=f（x），
即當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=-x-1，
即在一個(gè)周期[-2，2]內(nèi)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，0≤x≤2}\\{-x-1，-2≤x＜0}\end{array}\right.$，
若x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]，
即f（x）=f（x-4）=-（x-4）-1=-x+3，x∈[2，4]，
作出函數(shù)f（x）在[-2，4]上的圖象如圖：
則當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，不等式xf（x）＞0
等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
即1＜x＜3或-1＜x＜0，
即（-1，0）∪（1，3），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解集的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．