Question

15．在平面直角坐標系xOy中，設圓C的方程為（x-a）²+（y-2a+4）²=1．
（Ⅰ）若圓C經過A（3，3）與B（4，2）兩點，求實數a的值；
（Ⅱ）點P（0，3），若圓C上存在點M，使|MP|=2|MO|，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓C的圓心（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=2a-4\end{array}\right.$即圓C的圓心滿足y=2x-4．由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，得圓心C（3，2），即可得出結論．
（Ⅱ）設點M（x，y），通過|MA|=2|MO|，化簡，利用點M（x，y）在圓C上，推出|2-1|≤|CD|≤2+1，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意k_AB=-1，線段AB的中點為$（\frac{7}{2}，\frac{5}{2}）$，
故線段AB的中垂線方程為$y-\frac{5}{2}=x-\frac{7}{2}$即y=x-1．
設圓C的圓心（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=2a-4\end{array}\right.$即圓C的圓心滿足y=2x-4．
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，得圓心C（3，2），即a=3．
（Ⅱ）點M（x，y），因為|MA|=2|MO|，
所以$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，化簡得x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4，
所以點M在以D（0，-1）為圓心，2為半徑的圓上
所以點M應該既在圓C上又在圓D上，即圓C和圓D有公共點．
因此$|{2-1}|≤\sqrt{{a^2}+{{[{（2a-4）-（-1）}]}^2}}≤|{2+1}|$
由5a²-8a+8≥0得a∈R；由5a²-12a≤0得$0≤a≤\frac{12}{5}$，
因此所求實數a的取值范圍是$0≤a≤\frac{12}{5}$．

點評 本題考查圓的方程的應用，直線與圓的位置關系，考查分析問題解決問題的能力．