Question

20．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}=\frac{{{n^2}+3n}}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）化簡(jiǎn)數(shù)列{b_n}，再根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求出

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{{{n^2}+3n}}{2}-\frac{{{{（n-1）}^2}+3（n-1）}}{2}=n+1$，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n+1；
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}=\frac{1}{（2n）（2n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}）$，
${T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}）=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}）=\frac{n}{4n+4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和裂項(xiàng)求和，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題