15.設(shè)向量$\overrightarrow a=(\sqrt{3}sinx,sinx)$,$\overrightarrow b=(cosx,sinx)$.
(1)若$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$且$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)$f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b$,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 (1)根據(jù)向量的模以及角的范圍,即可求出.
(2)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡f(x)解析式,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)叫角的正弦函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出x的范圍,即為函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow a=(\sqrt{3}sinx,sinx)$,
∴$|\overrightarrow a|=2\sqrt{{{sin}^2}x}$,
∵$\overrightarrow$=(cosx,sinx),
∴$|\overrightarrow b|=1$
由$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$得,${sin^2}x=\frac{1}{4}$,
又$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$,
∴$sinx=\frac{1}{2}$,
∴$x=\frac{π}{6}$.
(2)∵$f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$,
得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ(k∈Z)$,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{6},kπ+\frac{π}{3}}],k∈Z$.

點(diǎn)評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,二倍角的余弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

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年齡(歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)
頻數(shù)510151055
贊成人數(shù)469634
(1)請補(bǔ)全被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖;
(2)若從年齡在[55,65),[65,75]的被調(diào)查者中分別隨機(jī)選取一人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求這兩人都贊成“停課”這一舉措的概率.

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