Question

4．學(xué)生在野營活動中，用直桿搭建一個支架進(jìn)行野炊，如圖1所示，已知PA=PB=PC=140cm，點C到A、B兩點的距離相等，E、F、G、H分別是PA、PB、PC、EF的中點，直桿GH與底面ABC的距離為50cm．

（1）在圖2中畫出相應(yīng)于圖1的空間圖形；三棱錐P-ABC及相關(guān)線段EF、GH；
（2）求PC與底面ABC所成角的大小（結(jié)果用反三角形式表示）；
（3）判斷PC與EF是否互相垂直，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件作圖；
（2）求出P到平面ABC的距離，則利用三角函數(shù)定義得出線面角的正弦值；
（3）取AB中點M，連結(jié)CM，PM，證明AB⊥平面PCM，EF∥AB即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作出空間圖形如下：

（2）過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，連結(jié)OC，
則∠PCO為PC與平面ABC所成的角．
∵GH∥平面ABC，GH到平面ABC的距離為50，G是PC的中點，
∴P到平面ABC的距離為100，即PO=100，
∴sin∠PCO=$\frac{PO}{PC}=\frac{5}{7}$，
∴∠PCO=arcsin$\frac{5}{7}$．
（3）取AB中點M，連結(jié)CM，PM，
∵PA=PB，CA=CB，M是AB的中點，
∴CM⊥AB，PM⊥AB，
又PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PCM，又PC?平面PCM，
∴AB⊥PC，
∵E，F(xiàn)是PA，PB的中點，
∴EF∥AB，
∴PC⊥EF．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．