Question

12．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，∠ABC=90°，點E、F分別是棱AB、BB₁的中點，當(dāng)二面角C₁-AA₁-B為45^o時，直線EF和BC₁所成的角為（　�。�

• A． 45^o
• B． 60^o
• C． 90^o
• D． 120^o

Answer 1

分析 由已知條件可得BA、BC、BB₁ 兩兩互相垂直，并求得BC=2，以B為原點，分別以BC，BA，BB₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$ 與$\overrightarrow{EF}$的坐標(biāo)，得到兩向量所成角，進(jìn)一步得到直線EF和BC₁所成的角．

解答 解：如圖，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中是直三棱柱，∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
則A₁C₁⊥AA₁，A₁B₁⊥AA₁，∴∠B₁A₁C₁為二面角C₁-AA₁-B的平面角等于45^o，
∵∠A₁B₁C₁=∠ABC=45°，且A₁B₁=AB=2，
∴B₁C₁=BC=2．
以B為原點，分別以BC，BA，BB₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），E（0，1，0），C₁（2，0，2），F(xiàn)（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{EF}=（0，-1，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{EF}|}=\frac{2}{\sqrt{8}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$ 與$\overrightarrow{EF}$的夾角為60°，即直線EF和BC₁所成的角為60°．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角，訓(xùn)練了利用空間向量求兩條異面直線所成角的方法，是中檔題．