Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域為[m，n]，若存在k∈N^*，使得函數(shù)f（x）的值域為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）為“k-倍乘函數(shù)”．
（1）請判斷函數(shù)f（x）=2x，x∈[1，2]是否是“2-倍乘函數(shù)”；
（2）已知函數(shù)g（x）=x²，問是否存在k∈N^*，使g（x）在[2，4]上為“k-倍乘函數(shù)”；
（3）已知函數(shù)h（x）=-x²+4在區(qū)間[m，n]上為“2-倍乘函數(shù)”，求實數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （1）（2）由題意：根據(jù)新定義的特征求解．定義域為[m，n]，k∈N^*，求其值域為[km，kn]，即可求判斷．
（3）h（x）=-x²+4在區(qū)間[m，n]上為“2-倍乘函數(shù)”，即k=2，求值值域，根據(jù)新定義，值域相等求出實數(shù)m，n的值．

解答 解（1）由題意：根據(jù)新定義的特征：定義域為[m，n]，k∈N^*，其值域為[km，kn]；
函數(shù)f（x）=2x，是增函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時，值域為[2，4]，存在k=2時，滿足新定義．∴該函數(shù)是“2-倍乘函數(shù)”；
（2）函數(shù)g（x）=x²，可知x∈（-∞，0）單調(diào)遞減，在x∈（0，+∞）單調(diào)遞遞增，當(dāng)x在[2，4]上時是增函數(shù)，其值域為[4，16]，根據(jù)根據(jù)新定義的特征，$\frac{4}{2}≠\frac{16}{4}$，不存在k∈N^*，使g（x）在上為“k-倍乘函數(shù)”；
（3）已知函數(shù)h（x）=-x²+4，在區(qū)間[m，n]上，根據(jù)根據(jù)新定義的特征
可得：值域為[-m²+4，-n²+4]，
函數(shù)是“2-倍乘函數(shù)”，即k=2，
則有：$\left\{\begin{array}{l}{2m=-{m}^{2}+4}\\{2n=-{n}^{2}+4}\end{array}\right.$
解得：$m=±\sqrt{5}-1$，$n=±\sqrt{5}-1$
∵m＜n．
故得實數(shù)m=$-\sqrt{5}-1$，n=$\sqrt{5}-1$．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求法，新定義的理解，讀懂題意，看懂關(guān)系．是一道中檔題；