Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x²-x-$\frac{1}{a}$）e^ax（a＞0）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）若存在唯一實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax．
利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）上遞增，在∈（-$\frac{2}{a}$，1）遞減．
注意到x＜-$\frac{2}{a}$，x²-x-$\frac{1}{a}$＞0，f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$＜0．即函數(shù)y=f（x）的最小值為f（1）．
（2）存在唯一實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立?函數(shù)y=f（x）圖象與y=-$\frac{3}{a}$＜（-$\frac{3}{a}$0）有唯一交點(diǎn)，結(jié)合圖象且僅當(dāng)-$\frac{1}{a}{e}^{a}=-\frac{3}{a}$時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立，
即可求得實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax．
令f′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{2}{a}$＜0，
當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-$\frac{2}{a}$，1）時(shí)，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）上遞增，在∈（-$\frac{2}{a}$，1）遞減．
注意到x＜-$\frac{2}{a}$，x²-x-$\frac{1}{a}$＞0，f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$＜0．
∴函數(shù)y=f（x）的最小值為f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$．
（2）存在唯一實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立?函數(shù)y=f（x）圖象與y=-$\frac{3}{a}$＜（-$\frac{3}{a}$0）有唯一交點(diǎn)，
結(jié)合（1）可得函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）上遞增，在∈（-$\frac{2}{a}$，1）遞減．
注意到x＜-$\frac{2}{a}$，x²-x-$\frac{1}{a}$＞0，f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$＜0．
∴當(dāng)且僅當(dāng)-$\frac{1}{a}{e}^{a}=-\frac{3}{a}$時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立，
即a=ln3時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．